Vật lý lý thú: lời giải sai ở đâu?

Dưới đây là một lời giải sai của một bài toán mà mình luôn canh cánh trong lòng từ 14 năm trước. Lý do là: bài toán này được in trong hai cuốn sách: "Cơ học 1" của thầy Tô Giang và " Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý trung học phổ thông - Bài tập Cơ học - Nhiệt học" của nhóm tác giả thầy Vũ Thanh Khiết, tuy nhiên hai cuốn sách lại đưa ra hai đáp số khác nhau, và dưới đây là lời giải trong cuốn thứ hai. Cho tới gần đây, khi lật xem lại thì cuối cùng mình đã giải quyết được hoàn toàn vấn đề này. Trước tiên cùng xem đề bài và cách giải sai:

Đề bài

Một dây xích AB, dài $l$ có một phần nằm trên mặt bàn nằm ngang, nhẵn và một phần dài $h$ lơ lửng ở ngoài. Đầu B của dây chạm nhẹ vào mặt bàn (hình vẽ). Người ta thả đầu A của xích. Tìm tốc độ của đầu A khi nó vừa rời khỏi mặt bàn.

Lời giải SAI

Gọi $M$ là khối lượng của sợi dây xích. Giả sử ở thời điểm $t$, đầu trên $A$ của xích dịch chuyển tới $D$, với $AD = x$. Theo định lí biến thiên động lượng:

$$dp = d(mv) = mdv + vdm = Fdt \tag{1}$$

trong đó $m$ là khối lượng phần xích BOD:

$$m = \frac{M}{l}(l-x) \implies dm = -\frac{M}{l}dx$$

còn $F$ là trọng lượng của phần xích OB: $F = \frac{M}{l}hg$

Thay $m, dm, F$ vào (1), ta có:

$$\begin{align*} \frac{M}{l}(l-x)dv - \frac{Mv}{l}dx &= \frac{M}{l}hgdt \\[0.2in] (l-x)dv - vdx &= hgdt \tag{2} \end{align*}$$

từ:

$$v = \frac{dx}{dt} \implies dt = \frac{dx}{v} \tag{3}$$

Thay (3) vào (2) ta được:

$$\begin{align*} (l-x)dv - vdx &= \frac{gh}{v}dx \\[0.2in] (l-x)dv &= \bigg(v + \frac{gh}{v} \bigg) dx \\[0.2in] \frac{dv}{v + \frac{gh}{v}} &= \frac{dx}{l-x} \\[0.2in] \frac{vdv}{v^2 + gh} &= \frac{dx}{l-x} \end{align*}$$

Lấy tích phân hai vế:

$$\begin{align*} \int_0^v\frac{vdv}{v^2 + gh} &= \int_0^{l-h}\frac{dx}{l-x} \\[0.2in] \int_0^v\frac{d(v^2)}{v^2 + gh} &= \int_0^{l-h}\frac{2dx}{l-x} \\[0.2in] ln(gh+v^2)\Big|_0^v &= -2ln(l-x)\Big|_0^{l-h} \\[0.2in] ln\frac{gh+v^2}{gh} &= -2 ln\frac{h}{l} \\[0.2in] 1+\frac{v^2}{gh} &= \frac{l^2}{h^2} \\[0.2in] v^2 &= gh \bigg(\frac{l^2}{h^2} -1\bigg) \end{align*}$$

Cuối cùng ta được:

$$v = \sqrt{gh \bigg(\frac{l^2}{h^2} -1\bigg)}$$

Kết quả này là sai, nhưng sai ở chỗ nào?

Lời giải SAI thứ 2

Trước hết, đặt $\lambda = \frac{M}{l}$

Gọi $\vec{T}$ là lực căng của sợi xích tại giao điểm như hình. Áp dụng định lý biến thiên động lượng lần lượt đối với hệ xích OB và OD, chiếu lên hệ toạ độ Oxy ta được:

$$\begin{align*} m_{OD}dv + v(dm_{OD}) &= Tdt \\[0.2in] m_{OB}dv + vd(m_{OB}) &= ( m_{OB} g - T) dt \end{align*}$$

Lưu ý: lực $\vec{T}$ hướng xuống dưới góp phần kéo phần xích OD, lực $\vec{T}$ hướng sang trái góp phần kéo phần xích OB "lên", đại diện cho quán tính của phần xích OD, dấu của $\vec{v}$ và $\vec{T}$ ở hai phương trình trên được thay đổi cho dễ nhìn, không làm thay đổi tính chính xác của vật lý và toán. Thay $\lambda$ ở trên ta được:

$$\begin{align} \lambda (l - x - h)dv + v(-\lambda dx) &= Tdt \tag{4} \\[0.2in] \lambda hdv &= ( \lambda gh - T) dt \tag{5} \end{align}$$

Cộng từng vế của (4) và (5), ta được:

$$\begin{align*} \lambda (l - x)dv - \lambda vdx &= \lambda ghdt \\[0.2in] (l - x)dv - vdx &= ghdt \tag{6} \end{align*}$$

Ta thấy rằng (6) chính là (2), vì vậy, tiếp tục giải như trên, ta nhận được kết quả sai tương tự, kết quả này là sai, nhưng sai ở chỗ nào?

Lời giải trông có vẻ đúng thứ 3

Áp dụng định luật II Newton lần lượt đối với hệ xích OB và OD, chiếu lên hệ toạ độ Oxy ta được:

$$\begin{align*} m_{OB} \frac{dv}{dt} &= T \\[0.2in] m_{OD} \frac{dv}{dt} &= m_{OD}g - T \end{align*}$$

Thay khối lượng của từng phần OB và OD:

$$\begin{align*} \lambda (l - x - h) \frac{dv}{dt} &= T \tag{7} \\[0.2in] \lambda h \frac{dv}{dt} &= \lambda gh - T \tag{8} \end{align*}$$

Cộng từng vế của (7) và (8), ta được:

$$\begin{align*} \lambda (l - x) \frac{dv}{dt} &= \lambda gh \\[0.2in] \lambda (l - x) dv &= \lambda gh dt \\[0.2in] \lambda (l - x) dv &= \lambda gh \frac{dx}{v} \\[0.2in] vdv &= \frac{ghdx}{l-x} \\[0.2in] \end{align*}$$

Lấy tích phân hai vế:

$$\begin{align*} \int_0^vvdv &= gh \int_0^{l-h}\frac{dx}{l-x} \\[0.2in] \int_0^vd(v^2) &= 2gh \int_0^{l-h}\frac{dx}{l-x} \\[0.2in] v^2\Big|_0^v &= -2ghln(l-x)\Big|_0^{l-h} \\[0.2in] v^2 &= -2gh ln\frac{h}{l} \\[0.2in] v^2 &= 2gh ln\frac{l}{h} \\[0.2in] v &= \sqrt{2gh ln \frac{l}{h}} \end{align*}$$

Theo bạn, kết quả này có đúng không?

Lời giải trông có vẻ đúng thứ 4

Đây là lời giải trong sách Cơ học 1, lưu ý đoạn ống được bọc phía trên, tại sao thêm phần ống này vào lại không thay đổi kết quả? Điều này gợi ý điều gì?

Xét đoạn xích chuyển đang chuyển động. Đây là một hệ có khối lượng giảm dần, vì cứ sau khoảng thời gian $dt$ lại có một mắt xích dài $dx$ rời khỏi hệ và nằm yên trên bàn. Do cấu tạo của xích mà mắt xích này không tác dụng trở lại hệ một lực nào. Vì thế ta xét hệ là đoạn xích đang chuyển động trừ mắt xích này. Việc tách một mắt xích chuyển động khỏi hệ không ảnh hưởng gì đến kết quả cần tìm. Áp dụng định luật II Newton:

$$m_t \frac{dv}{dt} = \sum F_{ext} + \frac{dm}{dt} u \tag{9}$$

trong đó:

$$\begin{cases} \begin{align*} m_t &= \frac{m}{l}(l - x) \\[0.2in] u &= 0 \\[0.2in] \sum F_{ext} &= \frac{m}{l} gh \end{align*} \end{cases}$$

Thay vào (9):

$$\begin{align*} \frac{m}{l} (l-x) \frac{dv}{dt} &= \frac{m}{l} gh + 0 \\[0.2in] (l-x) \frac{dv}{dt} &= gh \\[0.2in] (l-x)dv &= gh dt \\[0.2in] (l-x)dv &= gh \frac{dx}{v} \\[0.2in] vdv &= gh \frac{dx}{l-x} \\[0.2in] \frac{1}{2} d(v^2) &= -gh \frac{dx}{l-x} \\[0.2in] \end{align*}$$

Tich phân 2 vế:

$$\begin{align*} \frac{1}{2} \int_0^v d(v^2) &= -gh \int_0^{l-h} \frac{d(l-x)}{l-x} \\[0.2in] \frac{1}{2} v^2 &= gh ln\frac{l}{h} \\[0.2in] v &= \sqrt{2gh ln\frac{l}{h} } \\[0.2in] \end{align*}$$

Kết quả này giống với kết quả ở cách giải thứ 3, theo bạn, kết quả này có đúng không?