Học toán để làm gì? | Posts

Toán luôn đứng đầu danh sách các môn cần phải học, tại sao? Hơn nữa, sau khi ra trường, nhiều người nhận thấy toán hiếm khi được sử dụng trong công việc. Vậy học toán để làm gì? Tất nhiên là học toán không phải để cho vui, mà học toán là để sử dụng. Và mình có thể chắc chắn với mọi người rằng, toán là vô cùng quan trọng, nhưng vấn đề là trước kia mình cũng không coi trọng toán lắm, thậm chí khá ghét, vậy điều gì khiến mình thay đổi quan điểm này? Đó chính là câu chuyện mình muốn kể ở đây, là điều mình mới nhận ra, và cũng là động lực chính để mình viết bài này.

Sơ lược về bản thân, tính tới lúc viết bài này, mình có 24 năm học tập và làm việc, từ phổ thông, đại học đến sau đại học. Trong khoảng thời gian đó, mình cũng dùng toán kha khá nhiều đấy, đặc biệt là ở cấp ba, tuy nhiên, điều đó cũng không khiến mình cảm thấy toán quan trọng. Toán ngày xưa đúng là chỉ dùng để đi thi, thi xong rồi thì không còn thấy ý nghĩa gì nữa. Đi làm vài năm, ngày càng thấy triết học quan trọng hơn nhiều, vì nó là công cụ định hình tư duy, mà làm gì cũng cần tư duy, nên là động đâu cũng cần triết.

Sau này có cơ hội đọc các liệu nước ngoài, xem cách họ sử dụng toán để giải quyết vấn đề, mình mới biết tại sao ngày xưa mình không coi trọng môn toán. Về cơ bản thì cái mà mình không coi trọng và không thích, và có lẽ nhiều bạn cũng vậy, đó không phải toán, nó là một phần của toán, cái mà mình gọi là tính toán (computing). Và cái cách chúng ta được học toán, là lý do mà chúng ta không thích toán. Ở cách học đó, tính toán ra kết quả là "mục đích", trong khi bản chất của tính toán chỉ là "công cụ", không phải mục đích, vì vậy cái thứ ta học cực kỳ khô khan và vô nghĩa. Không những khô khan, nó còn cực kỳ nguy hiểm vì với sự phát triển của trí tuệ nhân tạo, vai trò của tính toán sẽ ngày càng suy giảm.

Toán học là gì?

Định nghĩa một cách dễ hiểu của toán học là:

Mathematics is the study of patterns, structures, and relationships using logic and abstraction. It is a language that describes quantities, changes, space, and uncertainty in a precise and rigorous way.

Tạm dịch:

Toán học là nghiên cứu về các mô hình, cấu trúc và mối quan hệ bằng logic và trừu tượng. Đây là ngôn ngữ mô tả số lượng, sự thay đổi, không gian và sự không chắc chắn theo cách chính xác và chặt chẽ.

Nhìn kỹ vào định nghĩa trên, ta thấy không có chỗ nào nhắc đến việc việc tính toán cả, tức là các việc liên quan đến giải phương trình, tính tích phân hay chứng minh bất đẳng thức. Nếu cho rằng toán học chỉ đơn thuần là những phép tính, thì đó là một sự hiểu lầm nghiêm trọng. Như vậy là ngay từ định nghĩa, tính toán rõ ràng đã không phải là toán rồi. Toán là một ngôn ngữ, là một công cụ.

Còn đối với mình, thì toán học là một môn triết học của tư duy trừu tượng. Khi học toán, ta không chỉ rèn luyện kỹ năng tính toán mà còn rèn luyện tư duy toán học và quan trọng nhất là trực giác toán học – thứ giúp ta nhận diện và xử lý các vấn đề trong thực tế.

Định nghĩa toán học là vậy, nó là công cụ sắc bén, và nó chỉ phát huy hết tầm quan trọng khi được sử dụng đúng cách. Điều này được mô tả rất chi tiết dưới đây, rất rõ ràng và mạch lạc, không hề phù phiếm và hại não!

Bốn bước áp dụng toán học trong thực tiễn

Trong thực tế, các phương trình không phải là có sẵn cho các bạn giải và chúng mô tả thế giới tự nhiên, chứ không được "sửa chữa cho dễ giải" như khi đi thi. Các bước sử dụng công cụ toán học như sau:

Xây dựng mô hình toán học (Modeling): Chuyển đổi một vấn đề thực tiễn thành bài toán toán học. Để làm được điều này, ta cần có trực giác toán học – khả năng hiểu bản chất trừu tượng của các phép tính và khái niệm toán học, từ đó tìm ra nét tương đồng giữa chúng với các vấn đề.
Giải quyết bài toán toán học (Solving): Đây là bước duy nhất được dạy trong trường học – nơi chúng ta dành phần lớn thời gian để học cách giải phương trình, tìm đạo hàm, tính tích phân... Nhưng trong tương lai, AI sẽ đảm nhận phần lớn công việc này, trừ những bài toán quá phức tạp hoặc mang tính trừu tượng cao.
Diễn giải kết quả toán học (Interpreting): Một phép tính hay một mô hình toán học không có giá trị nếu ta không hiểu ý nghĩa của nó. Sau khi tính toán, ta cần quay lại để kiểm tra xem kết quả có hợp lý hay không và ý nghĩa thực tế của nó là gì.
Ra quyết định (Decision Making): Đây là bước quan trọng nhất khi đưa toán vào thực tiễn. Toán học chỉ là công cụ hỗ trợ tư duy chứ không phải mục đích cuối cùng. Trong các quyết định kinh doanh hay chính sách công, kết quả toán học chỉ là một yếu tố trong nhiều yếu tố ảnh hưởng đến quyết định cuối cùng.

Như ta thấy, mục đích cuối cùng của toán học vẫn là vấn đề. Vấn đề thì luôn tồn tại, ngay cả trước khi toán học xuất hiện, khi đó, không có toán người ta vẫn giải quyết các vấn đề được mà, vậy tại sao chúng ta cần toán học?

Vì...não bộ con người có khả năng trừu tượng tuyệt vời, nhưng cũng có những giới hạn. Khi đối mặt với các vấn đề phức tạp gồm nhiều tầng trừu tượng lồng ghép, trực tiếp xử lý nó là bất khả thi, vì vậy toán học mới ra đời. Toán học chính là công cụ giúp chia nhỏ sự trừu tượng, làm cho những vấn đề phức tạp trở nên khả thi để giải quyết.

Toán ngày càng phát triển, nhưng không bởi vì vậy mà khiến nó xa rời bản chất của nó, chỉ có sự truyền đạt nó mới gây hiểu lầm, làm sai lệch bản chất của nó.

Tuy nỗ lực truyền đạt và kế thừa qua nhiều thế hệ, nhưng cái khó khăn vẫn còn đó, vì thứ cần truyền đạt rất khó để mô tả, nó không phải là các công thức, mà là một thứ trừu tượng hơn nhiều, đó là trực giác toán học - thứ mà theo mình, là quan trọng nhất và sẽ là mục tiêu chính để học toán.

Trực giác toán học là gì?

Trực giác toán học là khả năng hiểu bản chất của các khái niệm toán học thay vì chỉ biết tính toán một cách máy móc. Để hiểu rõ hơn, cùng xem xét hai phép tính cơ bản nhất của toán học: cộng và nhân.

Trong vật lý và toán học, có một lựa chọn tưởng chừng đơn giản nhưng lại mang ý nghĩa sâu sắc—một lựa chọn định hình cách chúng ta hiểu về vũ trụ. Khi nào ta sử dụng cộng, và khi nào ta sử dụng nhân?

Thoạt nhìn, điều này có vẻ như chỉ là một chi tiết toán học thuần túy. Nhưng đằng sau nó là một nguyên tắc triết học phản ánh cách thế giới vận hành, cách các lực tương tác, và cách các đại lượng liên kết với nhau để tạo nên thực tại. Càng suy nghĩ về điều này, mình càng nhận ra rằng việc sử dụng cộng hay nhân không chỉ đơn thuần là phép tính—mà còn là một cách nhìn nhận về bản chất của mọi thứ xung quanh ta.

Cộng: Khi Mọi Thứ Độc Lập Với Nhau

Phép cộng rất quen thuộc. Chúng ta học về nó từ khi còn nhỏ. Nhưng nếu nhìn sâu hơn, ta sẽ thấy phép cộng đại diện cho sự độc lập giữa các đại lượng.

Khi cộng hai thứ lại với nhau, chúng ta đang nói rằng chúng tồn tại riêng lẻ và mỗi cái đóng góp phần của mình mà không phụ thuộc vào cái kia. Chúng chỉ đơn giản cùng tồn tại, và tổng thể là sự kết hợp của từng phần riêng biệt.

Ví dụ trong vật lý:

Tổng năng lượng: Nếu bạn có hai nguồn năng lượng độc lập, chúng chỉ cần cộng lại: $E_{total} = E_1 + E_2$ .
Lực cùng hướng: Nếu hai người cùng đẩy một vật, tổng lực tác dụng là $F_{net} = F_1 + F_2$ .
Hiệu điện thế trong mạch nối tiếp: Khi các pin được nối tiếp, điện áp tổng cộng là $V_{total} = V_1 + V_2$ .

Điểm chung ở đây là nếu một thành phần biến mất, những thành phần còn lại vẫn tồn tại. Nếu bạn tắt một nguồn điện, nguồn còn lại vẫn hoạt động. Nếu một người ngừng đẩy chiếc hộp, người kia vẫn có thể tiếp tục tác động lực lên nó. Đây chính là bản chất của phép cộng—các thành phần không phụ thuộc lẫn nhau.

Nhân: Khi Các Đại Lượng Liên Kết Chặt Chẽ

Phép nhân lại mang một hàm ý khác. Nó không chỉ đơn giản là phép cộng nhiều lần, mà là một mối quan hệ khác hẳn—một mối quan hệ phụ thuộc.

Khi hai đại lượng nhân với nhau, điều đó có nghĩa là một đại lượng ảnh hưởng đến giá trị của đại lượng kia. Nếu một trong hai bằng không, kết quả cuối cùng cũng bằng không. Chúng không chỉ cùng tồn tại, mà chúng liên kết chặt chẽ, tác động qua lại lẫn nhau.

Có thể thấy được điều này khi xem xét Định luật II của Newton:

F = ma

Lực không chỉ đơn giản là tổng của khối lượng và gia tốc. Nó "xuất hiện" từ sự kết hợp giữa hai yếu tố này. Nếu không có khối lượng, sẽ không có lực. Nếu không có gia tốc, cũng không có lực. Hai đại lượng này không thể tách rời. Đây là dấu hiệu của phép nhân—một đại lượng điều chỉnh tác động của đại lượng còn lại.

Các ví dụ khác trong vật lý:

Công thực hiện trên một vật: $W = Fd$ . Nếu không có lực thì sẽ không có công. Nếu không có khoảng cách di chuyển thì sẽ không có công.
Công suất điện: $P = IV$ . Nếu không có dòng điện thì sẽ không có công suất. Nếu không có hiệu điện thế thì sẽ không có công suất.
Lực hấp dẫn: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ . Hai vật có khối lượng không chỉ "cộng lại" để tạo ra lực hấp dẫn, mà chúng tương tác theo cách tỷ lệ với tích của chúng.

Phép nhân biểu thị sự phụ thuộc—nếu một thành phần biến mất, kết quả cuối cùng cũng biến mất theo.

Khi Nào Chọn Cộng? Khi Nào Chọn Nhân?

Một khi nhận ra sự khác biệt này, bạn sẽ thấy phía sau các công thức toán học là bản chất của các mối quan hệ trong thế giới thực. Việc lựa chọn sử dụng cộng hay nhân, nội tại trong đó đã mang một hàm ý ngầm định rồi.

Nếu một đại lượng có thể tồn tại mà không cần đại lượng kia → Dùng phép cộng (đóng góp độc lập).
Nếu một đại lượng mất đi khiến kết quả không còn → Dùng phép nhân (mối quan hệ phụ thuộc).

Đây là lý do tại sao lực là khối lượng nhân với gia tốc, chứ không phải khối lượng cộng gia tốc. Nếu không có khối lượng, không thể có lực. Nếu không có gia tốc, cũng không có lực. Mối quan hệ này không thể tách rời, nên chúng ta phải dùng phép nhân.

Vật lý và toán học không chỉ là những công thức khô khan. Chúng là ngôn ngữ mô tả cách vũ trụ vận hành. Mỗi phương trình đều kể một câu chuyện—câu chuyện về cách mọi thứ liên kết với nhau. Và sự lựa chọn giữa cộng hay nhân chính là một trong những điểm mấu chốt của câu chuyện đó. Nắm được bản chất này, tức là nắm được trực giác toán học đằng sau phép cộng và phép nhân, từ đó, ta mới có thể áp dụng nó vào cuộc sống. Ví dụ như:

Một số thứ chỉ cộng lại—kỹ năng của bạn, tài sản bạn có, kinh nghiệm bạn tích lũy.
Một số thứ lại nhân lên—tư duy sáng tạo, sự kết nối giữa con người, những ý tưởng truyền cảm hứng.

Trong tình yêu, sự kết hợp của hai người không đơn thuần là phép cộng của những nỗ lực cá nhân, mà là một sự tương tác mạnh mẽ—một điều gì đó lớn hơn chính bản thân nó.

Toán học, vật lý, và cả cuộc sống đều xoay quanh câu hỏi này: Những thứ này chỉ đơn thuần cùng tồn tại? Hay chúng thực sự liên kết với nhau? Nếu hiểu rõ điều này, bạn không chỉ giỏi hơn trong khoa học, mà còn sâu sắc hơn trong cách nhìn nhận thế giới.

Và lần tới khi bạn viết một phương trình, hãy dừng lại và suy nghĩ: liệu đây có phải là một tập hợp những ảnh hưởng độc lập? Hay nó là một sự tương tác không thể tách rời? Câu trả lời sẽ cho bạn biết liệu bạn nên cộng hay nhân—và hơn thế nữa, nó sẽ tiết lộ bản chất thật sự của sự vật hiện tượng.

Rèn luyện trực giác toán học không phải ngày một ngày hai, để trở thành một kỹ sư thực thụ, trực giác toán học là điều kiện tiên quyết, hi vọng với bài viết này, mọi người sẽ có được một gợi ý để tiếp tục con đường của bản thân, mong rằng trong con đường của bạn, có một chút nào đó đóng góp của mình!